Teorema de Pitágoras.

Todos los días usamos este famoso teorema:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos. a2 + b2 = c2

^{Sin embargo, la demostración es algo no tan conocido por todos.}

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema.

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2 PLATÓN. La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos. EUCLIDES. La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides. Elementos de Euclides. Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color. PUZZLES PITAGÓRICOS. A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

La GEOMETRIA FRACTAL

¿qué es geometría fractal ?

La geometria fractal no distingue, a propósito, entre conjuntos matemáticos (la teoría) y objetos naturales (la realidad). Incomparablemente más afín al mundo físico que la geometría euclidiana."

"Las cosas de incalculable complejidad se llaman fractales y tienen en común presentar longitudes infinitas dentro de áreas finitas."

Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real.

Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inicial; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial y así sucesivamente. A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamiento; por ejemplo desplazar el punto X en centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz. Se perfila de forma progresiva y sorprendentemente obtenmos el dibujo de la hoja de helecho.Mientras el ordenador hace esta tarea menos ardua en pantalla y en décimas de segundo.

BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL

Si Mandelbrot representa el enfoque moderno de la matemática y es considerado padre de la geometría fractal debemos remontarnos a 1935 cuando se funda la célebre escuela Bourbaki, organizadora del nuevo pensamiento matemático. Sus miembros fundadores eran: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte,Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel y Szolem Mandelbrojt, colaboradores de Nicolas Bourbaki.

Los objetivos fundamentales de Bourbaki eran la reconstrucción del edificio matemático sobre bases axiomáticas. Sus trabajos cristalizaron en la redacción de una enciclopedia, “Éléments de Mathematique”.

En 1945, Szolem recomienda a su sobrino Benoît la lectura de un escrito de 300 páginas de Gaston Julia (1893-1978) titulado “Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles”, precursor de la moderna teoría de sistemas dinámicos. Y, de acuerdo con las ideas de la escuela de la que formaba parte, añadió: “Olvida la geometría”.

CUBISMO

CUBISMO:

El cubismo fue un movimiento artístico desarrollado entre 1907 y 1914, nacido en Francia y encabezado por Pablo Picasso, Georges Braque y Juan Gris. Es una tendencia esencial pues da pie al resto de las vanguardias europeas del siglo XX. No se trata de un ismo más, sino de la ruptura definitiva con la pintura tradicional.

El término cubismo fue acuñado por el crítico francés Louis Vauxcelles, el mismo que había bautizado a los fauvistas motejándolos de fauves (fieras); en el caso de Braque y sus pinturas de L'Estaque, Vauxcelles dijo, despreciativamente, que era una pintura compuesta por «pequeños cubos». Se originó así el concepto de «cubismo».

El cubismo es considerado la primera vanguardia ya que rompe con el último estatuto renacentista vigente a principios del siglo XX, la perspectiva. En los cuadros cubistas desaparece la perspectiva tradicional. Trata las formas de la naturaleza por medio de figuras geométricas, fragmentando líneas y superficies. Se adopta así la llamada «perspectiva múltiple»: se representan todas las partes de un objeto en un mismo plano. La representación del mundo pasaba a no tener ningún compromiso con la apariencia de las cosas desde un punto de vista determinado, sino con lo que se sabe de ellas. Por eso aparecían al mismo tiempo y en el mismo plano vistas diversas del objeto: por ejemplo, se representa de frente y de perfil; en un rostro humano, la nariz está de perfil y el ojo de frente; una botella aparece en su corte vertical y su corte horizontal. Ya no existe un punto de vista único. No hay sensación de profundidad. Los detalles se suprimen.

Cubismo analítico o hermético (1909-1912)

En 1909 Braque y Picasso estrechan su amistad y consiguen desarrollar la nueva tendencia. Juntos crearon las dos tendencias del cubismo. La primera es el cubismo analítico (1909-1912), en donde la pintura es casi monocroma en gris y ocre. Los colores en este momento no interesaban pues lo importante eran los diferentes puntos de vista y la geometrización, no el cromatismo.
Es en esta fase cuando el cubismo se presenta en público. Pero no por obra de Picasso y Braque, que exponían privadamente en la galería Kahnweiler, sino por otros pintores que conocieron la obra de aquéllos en sus talleres. Se presentaron al Salón de los Independientes de 1911. En su sala 41 aparecieron obras de Jean Metzinger, Albert Gleizes, Henri Le Fauconnier, Fernand Léger y Robert Delaunay. Provocaron el escándalo y rechazo de público y crítica. Ello llevó a que se construyera ya una obra doctrinal de primera hora explicando los hallazgos de la nueva tendencia. Así, el primer estudio teórico del cubismo lo hicieron en 1912 Gleizes y Metzinger: Du cubismo.

Cubismo sintético (1912-1914)

En El Portugués (1911) de Braque aparecen palabras y números, lo que abrió una nueva vía que llevó al segundo período del cubismo, el cubismo sintético (1912-1914). Braque, que había sido el primero en utilizar la caligrafía, y que más de una vez intentó imitar la madera o el mármol, fue quien inició esta última fase del cubismo al poner papel collé pegado directamente en la pintura. Picasso y Braque comenzaron a poner periódicos y esto evolucionó en lo que es hoy en día el collage. En 1912 Picasso realizó su primer collage.
El color es más rico que en la fase anterior, como puede verse en los rojos y azules de Botella de Suze (1913, Saint Louis, Missouri, Universidad Washington). Estas obras sintéticas son más simples, más sencillas de entender en cuanto a que son más figurativas, se ve claramente lo que se pretende representar. Los objetos ya no se reducen a volúmenes y planos expuestos en diversas perspectivas hasta ser irreconocibles, sino que se reducen a sus atributos esenciales, a aquello que los caracteriza de manera inequívoca y sin lo cual no serían lo que son.
La Primera Guerra Mundial puso fin a la fase más creadora del cubismo. Muchos de los pintores cubistas, al ser franceses, fueron llamados a la lucha (Braque, Léger, Metzinger, Gleizes, Villon y Lhote). En la posguerra, sólo Juan Gris siguió trabajando el cubismo más o menos ortodoxo, aunque en un estilo más austero y simple, en el que los objetos quedaron reducidos a su esencia geométrica. Marcoussis creó una obra más poética. Braque siguió trabajando en la misma línea del cubismo sintético, con papel encolado. El cubismo, como movimiento pictórico, se puede dar por terminado hacia 1919.

La Proporción Aurea en el Arte

La Proporción Áurea es una ley de la proporcionalidad, la cual se hace presente con frecuencia en naturaleza y su uso es particularmente útil en arte.

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, en el carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

Los antiguos egipcios fueron los primeros para utilizar matemáticas en arte. Los cuales aunque no parezca cierto atribuyeron a características mágicas a la sección de oro (coeficiente de oro, proporción divina, phi) y principalmente fue utilizado en el diseño de sus grandes pirámides.

Pitágoras (560-480 A.C.), el matemático griego, estaba especialmente interesado en la proporción áurea, realizo un estudio que dio la base para las proporciones de la figura humana. Él demostró que cada parte del cuerpo humano está construida en Proporción áurea.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

En la arquitectura moderna sigue .; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

El Hombre de Vitruvio

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci realizado alrededor del año 1492 en uno de sus diarios. Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma su nombre.

También se conoce como el Canon de las proporciones humanas.

Para Vitruvio el cuerpo humano esta dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea; en el recién nacido el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en el adulto.

En el dibujo puede notarse que la combinación de las posiciones de los brazos y piernas crea cuatro posiciones distintas: por un lado la posición con los brazos en cruz y los pies juntos se ve inscrita en el cuadrado sobreimpreso; y por otro la posición superior de los brazos y las dos de las piernas se ve inscrita en el círculo sobreimpreso.En la geometría plana, el circulo es el símbolo del cielo y el cuadrado el de la tierra; por lo que la cuadratura del circulo no es mas que la unión indisoluble del espíritu y la materia.

“Geometria Sagrada”

Se denomina Geometría sagrada, en un sentido restrictivo, a aquella que involucra diseños que se vinculan con el culto religioso. En todas las culturas y a lo largo de todas las épocas, los templos, los edificios funerarios, los espacios sagrados, las pinturas y obras escultóricas destinadas al culto dan muestra de los numerosos exponentes de la misma.


SIGNIFICADO, SÍMBOLO Y USO DE LA VESICA PISICIS EN LA CULTURA CRISTIANA

Literalmente significa vejiga (vesica), que al llenarse de aire adquiere la forma de pez (piscis). Era el diagrama central de la Geometría Sagrada en el misticismo cristiano de la Edad Media. Representa simbólicamente a Cristo. La vesica está vinculada morfológicamente a un pez, que era el símbolo que identificaba a los primeros cristianos en el Imperio Romano quienes lo utilizaban como código secreto para identificarse entre ellos.

Construcción de la Vesica Piscis

Su construcción consiste en trazar una circunferencia de radio cualquiera y de centro A. Eligiendo cualquier punto (B) de esta circunferencia se traza otra circunferencia con el mismo radio. La intersección de las dos circunferencias determina una zona denominada Vesica Piscis (VP). Se trazan los ejes de la VP: el eje mayor CD y el eje menor AB. Se determina los segmentos CA , AD , CB y BD. Todos son de igual medida, ya que son radios de la circunferencia. Se tiene así dos triángulos equiláteros dentro de la VP: el triángulo ABC y el triángulo ABD.

Se prolonga CA y CB hasta su intersección con las circunferencias, obteniendo los puntos F y E. CE y CF son diámetros de las circunferencias. Puede probarse que FD =DE = radios de las circunferencias, por lo tanto los triángulos BDE y ADF son equiláteros.
En el triángulo CDE, rectángulo en D es: CE 2 = CD2 + DE 2; CD2= CE 2 - DE 2

La Geometría y el Arte.

La mezquita Hassan II, es la segunda más grande del mundo y está ubicada en Marruecos. En ella podemos encontrar impresionantes diseños, propios de las mezquitas, con muchas aplicaciones de la simetría, como en sus cielos y pisos.



¿Cómo se ha construido éste diseño?


El diseño que a continuación intentamos reconstruir no es único, sino que se repite en otras partes de la misma mezquita.

Aqui se pueden apreciar una serie de varillas que se entrelazan formando figuras que parecieran, a simple vista, tener elementos en común.



En naranja, está marcada una de éstas varias rutas, que, como mostraremos a continuación, es la figura base que se debe rotar y reflejar.

Construír directamente una de éstas rutas es complejo. En varios de sus ángulos o los segmentos que la componen es difícil decidir respecto a sus medidas. Después de varios intentos, se decició finalmente partir por los diseños centrales, que se basan en variaciones de una cruz.

Éste es uno de varios decorados que siguen la misma lógica de las rutas basadas en éstas cruces. Se trata una serie de intrincados diseños, en donde se combinan diversas rutas, como en el caso de la fontana de ésta misma mezquita

El problema que propuso Apolonio

El problema de Apolonio se enuncia fácilmente:
"Se dan tres circunferencias en el plano. Se pide construir otra que sea tangente a las tres".

Analicemos la existencia de la solución (real).
Depende de la posición de las tres circunferencias dadas.
Si consideramos una de ellas y de las otras dos una está en el interior y otra en el exterior, entonces es claro que no puede haber ninguna circunferencia tangente a las tres.
Por otra parte pueden haber muchas soluciones distintas según que la circunferencia pedida haya de ser tangente interiormente o exteriormente a cada una de las circunferencias dadas. Vease en la figura siguiente:


El problema que propuso Apolonio no se encuentra resuelto por el.No se encuentra entre sus obras y por eso fueron muchos los matemáticos que trabajaron con ahínco por resolverlo. De él se dieron muchas soluciones a lo largo de la historia. Algunas resultaron bastante sofisticadas y otras más simples, requiriendo solamente los elementos más básicos de la geometría elemental.

La solución a través de la inversión:
La que hoy se suele presentar más comúnmente reduce el problema, por ejemplo restando a los radios de las tres circunferencias dadas el radio de la menor, al problema siguiente: dadas dos circunferencias y un punto, encontrar una circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos circunferencias. Este problema, si se hace una inversión respecto del punto dado, se reduce a su vez al siguiente: dadas dos circunferencias encontrar las tangentes comunes. Con ello el problema de Apolonio queda resuelto de forma que todas las construcciones necesarias se pueden hacer con regla y compás.
El estudio de las diferentes soluciones al problema, ocho a lo sumo, se lleva a cabo fácilmente.















AHORA VAMOS A RESOLVER UN PROBLEMA USANDO EL TEOREMA DE APOLONIO:






El problema que planteamos es el siguiente:¿Qué relación hay entre los radios de los cuatro círculos grandes y el de los dos círculos pequeños?


















Vamos a analizar la relación entre los radios:


R: radio mayor


r:radio menor


BC^2 = BD^2 - CD^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = 4 R r
AB^2 = AC^2 + BC^2 = (3R-r)^2 + 4Rr= 9R^2 + r^2 - 2Rr
Por ser ÐCAB = 30º, AB = 2 BC y AB^2 = 4 BC^2.


Entonces,
r^2 - 2Rr + 9R^2 = 16 Rr
r^2 -18 Rr + 9R^2 = 0






Para resolverlo recurrimos al problema de Apolonio, reduciremos nuestro problema a uno de los casos del problema de Apolonio







Explicaremos paso a paso:
El centro B del círculo tangente a las circunferencias (D) y (E) y a la recta base coincide con el del círculo auxiliar que pase por (E) y por (D) siendo tangente a una paralela a la recta base trazada a una distancia igual al radio R. Para hallar el centro de esta circunferencia,
Trazamos la paralela a la recta base por D', siendo DP = PD' = R.
Trazamos la circunferencia de diámetro DE y hallamos la intersección M de DE y la paralela.
Trazamos la circunferencia cuyo diámetro une M y el punto medio de DE. Esta circunferencia cortará a la circunferencia de diámetro DE en los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas desde M.
Con centro M y radio MT trazamos una circunferencia que corta en N a la paralela. Este N será un punto de tangencia con la circunferencia auxiliar.
La perpendicular por N a la recta base cortará a la mediatriz de DE en el centro B buscado.

ES UN CLARO EJEMPLO DE LAS APLICACIONES DEL PROBLEMA DE APOLONIO.

Biografía de Apolonio.

Apolonio de Perge fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre del Gran Geómetra.
Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. Respecto a sus obras, se han perdido muchas: Reparto rápido, en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación del número pi; Secciones en una razón dada, trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos puntos situados en dichas rectas) que esten en una razón dada (este problema es equivalente a resolver la ecuación ax - x2 = bc); Secciones en un área dada, problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver la ecuación ax + x2=bc); Secciones determinadas, dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP; Tangencias, resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Lugares planos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado.

Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra mas importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros mas importantes de matemáticas.

La geometria y el futbol unidos de la mano

Para este nuestro primer post relacionado con la asignatura, nos ha gustado el siguiente artículo el cual une el campo de la geometría, con el deporte, más especifícamente con el fútbol.

“El diseño de los actuales balones de fútbol no es caprichoso, sus 32 caras conforman una esfera casi perfecta. Pero todavía existe una figura geométrica más aproximada a una esfera perfecta, llamada rombicosidodecaedro; probablemente en unos años los actuales balones de fútbol serán reemplazados por esta figura de 62 caras, en un camino iniciado por lo menos hace 2500 años cuando los protofutbolistas griegos jugaban con pelotas hechas de doce trozos de fieltro y rellenos de trapos.El fútbol como espectáculo es quizás el único deporte en el que hay una gigantesca presencia de masas, movilización de enormes capitales e intereses de toda índole; el fútbol, en fin, ha dejado de ser una actividad puramente deportiva para constituirse en fenómeno social de impredecibles consecuencias.

Los 22 jugadores corriendo tras una pelota, un árbitro y dos jueces de línea son los elementos con los que este juego enciende las pasiones de millones de aficionados en todo el mundo que siguen las incidencias de los encuentros y los resultados de estos muchas veces han sido funestos y trágicos.

Para mejorar la capacidad de control de la pelota, la geometría ayudará nuevamente a que este popular juego siga perfeccionándose.
El actual balón de fútbol es un icosaedro truncado que, con una posterior presión interna – conseguida esta vez con aire – se convierte en la moderna pelota de fútbol. Sus doce pentágonos y veinte hexágonos ocupan el 86.74 % de la esfera circunscrita.

Un curioso teorema geométrico nada difícil de probar (Teorema de Euler) sostiene que todo poliedro formado por hexágonos y pentágonos debe contener precisamente doce de éstos, independientemente del numero de hexágonos con que cuente. Obviamente, sendos casos particulares de este hipotético poliedro son el dodecaedro regular, con cero hexágonos y nuestro moderno balón de fútbol con veinte.

Pitágoras describió once de los trece poliedros semirregulares que son menos conocidos que los platónicos, pero sí, más estéticos y agradables a la visión. Todos ellos tienen sus caras formadas por polígonos regulares de dos o tres clases distintas, todos iguales entre sí respectivamente y dispuestos del mismo modo en cada vértice. Desde el sencillo tetraedro truncado, con sólo ocho caras, al gran rombicosidodecaedro, con 62 caras, son todos ellos un prodigio de armonía geométrica.