Teorema de Pitágoras.

Todos los días usamos este famoso teorema:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos. a2 + b2 = c2

^{Sin embargo, la demostración es algo no tan conocido por todos.}

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema.

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2 PLATÓN. La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos. EUCLIDES. La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides. Elementos de Euclides. Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color. PUZZLES PITAGÓRICOS. A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

La GEOMETRIA FRACTAL

¿qué es geometría fractal ?

La geometria fractal no distingue, a propósito, entre conjuntos matemáticos (la teoría) y objetos naturales (la realidad). Incomparablemente más afín al mundo físico que la geometría euclidiana."

"Las cosas de incalculable complejidad se llaman fractales y tienen en común presentar longitudes infinitas dentro de áreas finitas."

Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real.

Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inicial; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial y así sucesivamente. A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamiento; por ejemplo desplazar el punto X en centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz. Se perfila de forma progresiva y sorprendentemente obtenmos el dibujo de la hoja de helecho.Mientras el ordenador hace esta tarea menos ardua en pantalla y en décimas de segundo.

BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL

Si Mandelbrot representa el enfoque moderno de la matemática y es considerado padre de la geometría fractal debemos remontarnos a 1935 cuando se funda la célebre escuela Bourbaki, organizadora del nuevo pensamiento matemático. Sus miembros fundadores eran: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte,Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel y Szolem Mandelbrojt, colaboradores de Nicolas Bourbaki.

Los objetivos fundamentales de Bourbaki eran la reconstrucción del edificio matemático sobre bases axiomáticas. Sus trabajos cristalizaron en la redacción de una enciclopedia, “Éléments de Mathematique”.

En 1945, Szolem recomienda a su sobrino Benoît la lectura de un escrito de 300 páginas de Gaston Julia (1893-1978) titulado “Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles”, precursor de la moderna teoría de sistemas dinámicos. Y, de acuerdo con las ideas de la escuela de la que formaba parte, añadió: “Olvida la geometría”.

CUBISMO

CUBISMO:

El cubismo fue un movimiento artístico desarrollado entre 1907 y 1914, nacido en Francia y encabezado por Pablo Picasso, Georges Braque y Juan Gris. Es una tendencia esencial pues da pie al resto de las vanguardias europeas del siglo XX. No se trata de un ismo más, sino de la ruptura definitiva con la pintura tradicional.

El término cubismo fue acuñado por el crítico francés Louis Vauxcelles, el mismo que había bautizado a los fauvistas motejándolos de fauves (fieras); en el caso de Braque y sus pinturas de L'Estaque, Vauxcelles dijo, despreciativamente, que era una pintura compuesta por «pequeños cubos». Se originó así el concepto de «cubismo».

El cubismo es considerado la primera vanguardia ya que rompe con el último estatuto renacentista vigente a principios del siglo XX, la perspectiva. En los cuadros cubistas desaparece la perspectiva tradicional. Trata las formas de la naturaleza por medio de figuras geométricas, fragmentando líneas y superficies. Se adopta así la llamada «perspectiva múltiple»: se representan todas las partes de un objeto en un mismo plano. La representación del mundo pasaba a no tener ningún compromiso con la apariencia de las cosas desde un punto de vista determinado, sino con lo que se sabe de ellas. Por eso aparecían al mismo tiempo y en el mismo plano vistas diversas del objeto: por ejemplo, se representa de frente y de perfil; en un rostro humano, la nariz está de perfil y el ojo de frente; una botella aparece en su corte vertical y su corte horizontal. Ya no existe un punto de vista único. No hay sensación de profundidad. Los detalles se suprimen.

Cubismo analítico o hermético (1909-1912)

En 1909 Braque y Picasso estrechan su amistad y consiguen desarrollar la nueva tendencia. Juntos crearon las dos tendencias del cubismo. La primera es el cubismo analítico (1909-1912), en donde la pintura es casi monocroma en gris y ocre. Los colores en este momento no interesaban pues lo importante eran los diferentes puntos de vista y la geometrización, no el cromatismo.
Es en esta fase cuando el cubismo se presenta en público. Pero no por obra de Picasso y Braque, que exponían privadamente en la galería Kahnweiler, sino por otros pintores que conocieron la obra de aquéllos en sus talleres. Se presentaron al Salón de los Independientes de 1911. En su sala 41 aparecieron obras de Jean Metzinger, Albert Gleizes, Henri Le Fauconnier, Fernand Léger y Robert Delaunay. Provocaron el escándalo y rechazo de público y crítica. Ello llevó a que se construyera ya una obra doctrinal de primera hora explicando los hallazgos de la nueva tendencia. Así, el primer estudio teórico del cubismo lo hicieron en 1912 Gleizes y Metzinger: Du cubismo.

Cubismo sintético (1912-1914)

En El Portugués (1911) de Braque aparecen palabras y números, lo que abrió una nueva vía que llevó al segundo período del cubismo, el cubismo sintético (1912-1914). Braque, que había sido el primero en utilizar la caligrafía, y que más de una vez intentó imitar la madera o el mármol, fue quien inició esta última fase del cubismo al poner papel collé pegado directamente en la pintura. Picasso y Braque comenzaron a poner periódicos y esto evolucionó en lo que es hoy en día el collage. En 1912 Picasso realizó su primer collage.
El color es más rico que en la fase anterior, como puede verse en los rojos y azules de Botella de Suze (1913, Saint Louis, Missouri, Universidad Washington). Estas obras sintéticas son más simples, más sencillas de entender en cuanto a que son más figurativas, se ve claramente lo que se pretende representar. Los objetos ya no se reducen a volúmenes y planos expuestos en diversas perspectivas hasta ser irreconocibles, sino que se reducen a sus atributos esenciales, a aquello que los caracteriza de manera inequívoca y sin lo cual no serían lo que son.
La Primera Guerra Mundial puso fin a la fase más creadora del cubismo. Muchos de los pintores cubistas, al ser franceses, fueron llamados a la lucha (Braque, Léger, Metzinger, Gleizes, Villon y Lhote). En la posguerra, sólo Juan Gris siguió trabajando el cubismo más o menos ortodoxo, aunque en un estilo más austero y simple, en el que los objetos quedaron reducidos a su esencia geométrica. Marcoussis creó una obra más poética. Braque siguió trabajando en la misma línea del cubismo sintético, con papel encolado. El cubismo, como movimiento pictórico, se puede dar por terminado hacia 1919.

La Proporción Aurea en el Arte

La Proporción Áurea es una ley de la proporcionalidad, la cual se hace presente con frecuencia en naturaleza y su uso es particularmente útil en arte.

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, en el carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

Los antiguos egipcios fueron los primeros para utilizar matemáticas en arte. Los cuales aunque no parezca cierto atribuyeron a características mágicas a la sección de oro (coeficiente de oro, proporción divina, phi) y principalmente fue utilizado en el diseño de sus grandes pirámides.

Pitágoras (560-480 A.C.), el matemático griego, estaba especialmente interesado en la proporción áurea, realizo un estudio que dio la base para las proporciones de la figura humana. Él demostró que cada parte del cuerpo humano está construida en Proporción áurea.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

En la arquitectura moderna sigue .; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

El Hombre de Vitruvio

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci realizado alrededor del año 1492 en uno de sus diarios. Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma su nombre.

También se conoce como el Canon de las proporciones humanas.

Para Vitruvio el cuerpo humano esta dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea; en el recién nacido el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en el adulto.

En el dibujo puede notarse que la combinación de las posiciones de los brazos y piernas crea cuatro posiciones distintas: por un lado la posición con los brazos en cruz y los pies juntos se ve inscrita en el cuadrado sobreimpreso; y por otro la posición superior de los brazos y las dos de las piernas se ve inscrita en el círculo sobreimpreso.En la geometría plana, el circulo es el símbolo del cielo y el cuadrado el de la tierra; por lo que la cuadratura del circulo no es mas que la unión indisoluble del espíritu y la materia.

“Geometria Sagrada”

Se denomina Geometría sagrada, en un sentido restrictivo, a aquella que involucra diseños que se vinculan con el culto religioso. En todas las culturas y a lo largo de todas las épocas, los templos, los edificios funerarios, los espacios sagrados, las pinturas y obras escultóricas destinadas al culto dan muestra de los numerosos exponentes de la misma.


SIGNIFICADO, SÍMBOLO Y USO DE LA VESICA PISICIS EN LA CULTURA CRISTIANA

Literalmente significa vejiga (vesica), que al llenarse de aire adquiere la forma de pez (piscis). Era el diagrama central de la Geometría Sagrada en el misticismo cristiano de la Edad Media. Representa simbólicamente a Cristo. La vesica está vinculada morfológicamente a un pez, que era el símbolo que identificaba a los primeros cristianos en el Imperio Romano quienes lo utilizaban como código secreto para identificarse entre ellos.

Construcción de la Vesica Piscis

Su construcción consiste en trazar una circunferencia de radio cualquiera y de centro A. Eligiendo cualquier punto (B) de esta circunferencia se traza otra circunferencia con el mismo radio. La intersección de las dos circunferencias determina una zona denominada Vesica Piscis (VP). Se trazan los ejes de la VP: el eje mayor CD y el eje menor AB. Se determina los segmentos CA , AD , CB y BD. Todos son de igual medida, ya que son radios de la circunferencia. Se tiene así dos triángulos equiláteros dentro de la VP: el triángulo ABC y el triángulo ABD.

Se prolonga CA y CB hasta su intersección con las circunferencias, obteniendo los puntos F y E. CE y CF son diámetros de las circunferencias. Puede probarse que FD =DE = radios de las circunferencias, por lo tanto los triángulos BDE y ADF son equiláteros.
En el triángulo CDE, rectángulo en D es: CE 2 = CD2 + DE 2; CD2= CE 2 - DE 2

La Geometría y el Arte.

La mezquita Hassan II, es la segunda más grande del mundo y está ubicada en Marruecos. En ella podemos encontrar impresionantes diseños, propios de las mezquitas, con muchas aplicaciones de la simetría, como en sus cielos y pisos.



¿Cómo se ha construido éste diseño?


El diseño que a continuación intentamos reconstruir no es único, sino que se repite en otras partes de la misma mezquita.

Aqui se pueden apreciar una serie de varillas que se entrelazan formando figuras que parecieran, a simple vista, tener elementos en común.



En naranja, está marcada una de éstas varias rutas, que, como mostraremos a continuación, es la figura base que se debe rotar y reflejar.

Construír directamente una de éstas rutas es complejo. En varios de sus ángulos o los segmentos que la componen es difícil decidir respecto a sus medidas. Después de varios intentos, se decició finalmente partir por los diseños centrales, que se basan en variaciones de una cruz.

Éste es uno de varios decorados que siguen la misma lógica de las rutas basadas en éstas cruces. Se trata una serie de intrincados diseños, en donde se combinan diversas rutas, como en el caso de la fontana de ésta misma mezquita