“Geometria Sagrada”

Se denomina Geometría sagrada, en un sentido restrictivo, a aquella que involucra diseños que se vinculan con el culto religioso. En todas las culturas y a lo largo de todas las épocas, los templos, los edificios funerarios, los espacios sagrados, las pinturas y obras escultóricas destinadas al culto dan muestra de los numerosos exponentes de la misma.


SIGNIFICADO, SÍMBOLO Y USO DE LA VESICA PISICIS EN LA CULTURA CRISTIANA

Literalmente significa vejiga (vesica), que al llenarse de aire adquiere la forma de pez (piscis). Era el diagrama central de la Geometría Sagrada en el misticismo cristiano de la Edad Media. Representa simbólicamente a Cristo. La vesica está vinculada morfológicamente a un pez, que era el símbolo que identificaba a los primeros cristianos en el Imperio Romano quienes lo utilizaban como código secreto para identificarse entre ellos.

Construcción de la Vesica Piscis

Su construcción consiste en trazar una circunferencia de radio cualquiera y de centro A. Eligiendo cualquier punto (B) de esta circunferencia se traza otra circunferencia con el mismo radio. La intersección de las dos circunferencias determina una zona denominada Vesica Piscis (VP). Se trazan los ejes de la VP: el eje mayor CD y el eje menor AB. Se determina los segmentos CA , AD , CB y BD. Todos son de igual medida, ya que son radios de la circunferencia. Se tiene así dos triángulos equiláteros dentro de la VP: el triángulo ABC y el triángulo ABD.

Se prolonga CA y CB hasta su intersección con las circunferencias, obteniendo los puntos F y E. CE y CF son diámetros de las circunferencias. Puede probarse que FD =DE = radios de las circunferencias, por lo tanto los triángulos BDE y ADF son equiláteros.
En el triángulo CDE, rectángulo en D es: CE 2 = CD2 + DE 2; CD2= CE 2 - DE 2

La Geometría y el Arte.

La mezquita Hassan II, es la segunda más grande del mundo y está ubicada en Marruecos. En ella podemos encontrar impresionantes diseños, propios de las mezquitas, con muchas aplicaciones de la simetría, como en sus cielos y pisos.



¿Cómo se ha construido éste diseño?


El diseño que a continuación intentamos reconstruir no es único, sino que se repite en otras partes de la misma mezquita.

Aqui se pueden apreciar una serie de varillas que se entrelazan formando figuras que parecieran, a simple vista, tener elementos en común.



En naranja, está marcada una de éstas varias rutas, que, como mostraremos a continuación, es la figura base que se debe rotar y reflejar.

Construír directamente una de éstas rutas es complejo. En varios de sus ángulos o los segmentos que la componen es difícil decidir respecto a sus medidas. Después de varios intentos, se decició finalmente partir por los diseños centrales, que se basan en variaciones de una cruz.

Éste es uno de varios decorados que siguen la misma lógica de las rutas basadas en éstas cruces. Se trata una serie de intrincados diseños, en donde se combinan diversas rutas, como en el caso de la fontana de ésta misma mezquita

El problema que propuso Apolonio

El problema de Apolonio se enuncia fácilmente:
"Se dan tres circunferencias en el plano. Se pide construir otra que sea tangente a las tres".

Analicemos la existencia de la solución (real).
Depende de la posición de las tres circunferencias dadas.
Si consideramos una de ellas y de las otras dos una está en el interior y otra en el exterior, entonces es claro que no puede haber ninguna circunferencia tangente a las tres.
Por otra parte pueden haber muchas soluciones distintas según que la circunferencia pedida haya de ser tangente interiormente o exteriormente a cada una de las circunferencias dadas. Vease en la figura siguiente:


El problema que propuso Apolonio no se encuentra resuelto por el.No se encuentra entre sus obras y por eso fueron muchos los matemáticos que trabajaron con ahínco por resolverlo. De él se dieron muchas soluciones a lo largo de la historia. Algunas resultaron bastante sofisticadas y otras más simples, requiriendo solamente los elementos más básicos de la geometría elemental.

La solución a través de la inversión:
La que hoy se suele presentar más comúnmente reduce el problema, por ejemplo restando a los radios de las tres circunferencias dadas el radio de la menor, al problema siguiente: dadas dos circunferencias y un punto, encontrar una circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos circunferencias. Este problema, si se hace una inversión respecto del punto dado, se reduce a su vez al siguiente: dadas dos circunferencias encontrar las tangentes comunes. Con ello el problema de Apolonio queda resuelto de forma que todas las construcciones necesarias se pueden hacer con regla y compás.
El estudio de las diferentes soluciones al problema, ocho a lo sumo, se lleva a cabo fácilmente.















AHORA VAMOS A RESOLVER UN PROBLEMA USANDO EL TEOREMA DE APOLONIO:






El problema que planteamos es el siguiente:¿Qué relación hay entre los radios de los cuatro círculos grandes y el de los dos círculos pequeños?


















Vamos a analizar la relación entre los radios:


R: radio mayor


r:radio menor


BC^2 = BD^2 - CD^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = 4 R r
AB^2 = AC^2 + BC^2 = (3R-r)^2 + 4Rr= 9R^2 + r^2 - 2Rr
Por ser ÐCAB = 30º, AB = 2 BC y AB^2 = 4 BC^2.


Entonces,
r^2 - 2Rr + 9R^2 = 16 Rr
r^2 -18 Rr + 9R^2 = 0






Para resolverlo recurrimos al problema de Apolonio, reduciremos nuestro problema a uno de los casos del problema de Apolonio







Explicaremos paso a paso:
El centro B del círculo tangente a las circunferencias (D) y (E) y a la recta base coincide con el del círculo auxiliar que pase por (E) y por (D) siendo tangente a una paralela a la recta base trazada a una distancia igual al radio R. Para hallar el centro de esta circunferencia,
Trazamos la paralela a la recta base por D', siendo DP = PD' = R.
Trazamos la circunferencia de diámetro DE y hallamos la intersección M de DE y la paralela.
Trazamos la circunferencia cuyo diámetro une M y el punto medio de DE. Esta circunferencia cortará a la circunferencia de diámetro DE en los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas desde M.
Con centro M y radio MT trazamos una circunferencia que corta en N a la paralela. Este N será un punto de tangencia con la circunferencia auxiliar.
La perpendicular por N a la recta base cortará a la mediatriz de DE en el centro B buscado.

ES UN CLARO EJEMPLO DE LAS APLICACIONES DEL PROBLEMA DE APOLONIO.

Biografía de Apolonio.

Apolonio de Perge fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre del Gran Geómetra.
Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. Respecto a sus obras, se han perdido muchas: Reparto rápido, en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación del número pi; Secciones en una razón dada, trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos puntos situados en dichas rectas) que esten en una razón dada (este problema es equivalente a resolver la ecuación ax - x2 = bc); Secciones en un área dada, problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver la ecuación ax + x2=bc); Secciones determinadas, dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP; Tangencias, resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Lugares planos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado.

Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra mas importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros mas importantes de matemáticas.