El problema que propuso Apolonio

El problema de Apolonio se enuncia fácilmente:
"Se dan tres circunferencias en el plano. Se pide construir otra que sea tangente a las tres".

Analicemos la existencia de la solución (real).
Depende de la posición de las tres circunferencias dadas.
Si consideramos una de ellas y de las otras dos una está en el interior y otra en el exterior, entonces es claro que no puede haber ninguna circunferencia tangente a las tres.
Por otra parte pueden haber muchas soluciones distintas según que la circunferencia pedida haya de ser tangente interiormente o exteriormente a cada una de las circunferencias dadas. Vease en la figura siguiente:


El problema que propuso Apolonio no se encuentra resuelto por el.No se encuentra entre sus obras y por eso fueron muchos los matemáticos que trabajaron con ahínco por resolverlo. De él se dieron muchas soluciones a lo largo de la historia. Algunas resultaron bastante sofisticadas y otras más simples, requiriendo solamente los elementos más básicos de la geometría elemental.

La solución a través de la inversión:
La que hoy se suele presentar más comúnmente reduce el problema, por ejemplo restando a los radios de las tres circunferencias dadas el radio de la menor, al problema siguiente: dadas dos circunferencias y un punto, encontrar una circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos circunferencias. Este problema, si se hace una inversión respecto del punto dado, se reduce a su vez al siguiente: dadas dos circunferencias encontrar las tangentes comunes. Con ello el problema de Apolonio queda resuelto de forma que todas las construcciones necesarias se pueden hacer con regla y compás.
El estudio de las diferentes soluciones al problema, ocho a lo sumo, se lleva a cabo fácilmente.















AHORA VAMOS A RESOLVER UN PROBLEMA USANDO EL TEOREMA DE APOLONIO:






El problema que planteamos es el siguiente:¿Qué relación hay entre los radios de los cuatro círculos grandes y el de los dos círculos pequeños?


















Vamos a analizar la relación entre los radios:


R: radio mayor


r:radio menor


BC^2 = BD^2 - CD^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = 4 R r
AB^2 = AC^2 + BC^2 = (3R-r)^2 + 4Rr= 9R^2 + r^2 - 2Rr
Por ser ÐCAB = 30º, AB = 2 BC y AB^2 = 4 BC^2.


Entonces,
r^2 - 2Rr + 9R^2 = 16 Rr
r^2 -18 Rr + 9R^2 = 0






Para resolverlo recurrimos al problema de Apolonio, reduciremos nuestro problema a uno de los casos del problema de Apolonio







Explicaremos paso a paso:
El centro B del círculo tangente a las circunferencias (D) y (E) y a la recta base coincide con el del círculo auxiliar que pase por (E) y por (D) siendo tangente a una paralela a la recta base trazada a una distancia igual al radio R. Para hallar el centro de esta circunferencia,
Trazamos la paralela a la recta base por D', siendo DP = PD' = R.
Trazamos la circunferencia de diámetro DE y hallamos la intersección M de DE y la paralela.
Trazamos la circunferencia cuyo diámetro une M y el punto medio de DE. Esta circunferencia cortará a la circunferencia de diámetro DE en los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas desde M.
Con centro M y radio MT trazamos una circunferencia que corta en N a la paralela. Este N será un punto de tangencia con la circunferencia auxiliar.
La perpendicular por N a la recta base cortará a la mediatriz de DE en el centro B buscado.

ES UN CLARO EJEMPLO DE LAS APLICACIONES DEL PROBLEMA DE APOLONIO.